Équations de la forme $ax+b=0$

Méthode

Une équation commme $ax+b=0$ est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre, ici $x$.

$2x+6=0$ ou $3x-2=5x+6$ tout comme $\displaystyle{1-2(x+4)=\frac{2x+5}{3}}$ sont des équations.

Pour vérifier qu'un nombre réel est solution d'une équation, il suffit de remplacer l'inconnue $x$ par ce nombre.

Le nombre -3 est solution de l'équation $2x+6=0$ car $2\times (-3)+6=-6+6$ donc $2\times (-3)+6=0$ : l'égalité est bien vérifiée.

Pour résoudre une équation, il suffit d'isoler l'inconnue $x$ dans un des membres (c'est-à-dire dans un seul côté) en appliquant des opérations successives aux deux membres de l'équation.

Exemples

Au collège, on vous a demandé lors des premières résolutions d'équation d'écrire à chaque étape l'opération dans chaque membre qui permet de réduire le membre où l'inconnue $x$ apparaît. Ci-dessous, vous avez une illustration de cette méthode :

Énoncé : Résoudre l'équation $4x+3=0$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align} 4x+3 &= 0\\[3pt] 4x+3\color{red}{-3} &= 0\color{red}{-3} && (\color{red}{\text{par soustraction}}) \\[3pt] 4x &= -3 && \text{(par simplification)} \\[3pt] \frac{4x}{\color{red}{4}} &= \frac{-3}{\color{red}{4}} && (\color{red}{\text{par division}}) \\[3pt] x &= -\frac{3}{4} && \text{(par simplification)} \end{align}}$$

Comme écrire les opérations à chaque membre peut paraître assez long, une fois la démarche acquise, vous pouviez ne plus les écrire et vous contenter d'écrire directement le résultat de chaque transposition, c'est-à-dire le résultat quand vous "faisiez passer dans l'autre membre" un nombre. Ainsi, vous pouviez rédiger seulement ainsi :

Énoncé : Résoudre l'équation $4x+3=0$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align*} 4x+3 &= 0\\[3pt] 4x &= -3 \\[3pt] x &= -\frac{3}{4} \end{align*}}$$

Au lycée, on essaie de voir la méthode précédente comme une succession d'opérations inverses :

Ci-dessous, vous avez une illustration de cette vision de la méthode :

Énoncé : Résoudre l'équation $4x+3=0$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align} 4x\color{blue}{+3} &=0 && \color{blue}{\text{une addition par 3 ...}}\\[3pt] 4x &=\color{blue}{-3} && \color{blue}{\text{... est effacée par une soustraction par 3.}}\\[3pt] \color{blue}{4\times}x &=-3 && \color{blue}{\text{une addition par 4 ...}}\\[3pt] x &=\frac{-3}{\color{blue}{4}} && \color{blue}{\textrm{... est effacée par une division par 4.}} \end{align}}$$

Dans tous les cas, au lycée, il vous sera demandé de conclure en donnant l'ensemble des solutions, notée par convention $S$.

Dans l'exemple précédent, il vous suffit d'écrire :

$$S=\left\{ -\frac{3}{4} \right\}$$

Pour mieux comprendre les exemples précédents de résolution, vous pouvez visualiser cette vidéo explicative.

Exercices

Vous pouvez retrouver l'ensemble des corrigés des exercices de cette section dans ce document en version pdf.

Résoudre chacune des équations suivantes et conclure en précisant l'ensemble des solutions.

  1. $2x-8=0$.

  2. $5x+3=0$

  3. $1+4x=0$

  4. $9-3x=0$

  5. $-8x=0$

Résoudre chacune des équations suivantes et conclure en précisant l'ensemble des solutions.

  1. $-3x=0$.

  2. $0=3-x$

  3. $0=2+5x$

  4. $x+x+3+3=0$

Équations de la forme $ax+b=cx+d$

Méthode

Pour résoudre une équation de la forme $ax+b=cx+d$, transposer dans un même membre tous les termes en $x$ et dans l'autre membre tous les termes constants.

Pour transposer chaque terme, vous pouvez utiliser les mêmes techniques que celles-vu dans la partie précédente, en sachant que la vision en terme d'opérations inverses sera préférable pour la suite du lycée.

Dans un premier temps, préférez effectuer une transposition à la fois si vous n'êtes pas encore très à l'aise avec la méthode.

Exemples

Énoncé : résoudre l'équation $2x-4=5x+3$.

Correction possible :

$$\displaystyle{\begin{align} 2x-4 &= \color{red}{5x}+3\\[3pt] 2x\color{red}{-5x}-4 &= 3\\[3pt] 2x-5x\color{blue}{-4} &= 3\\[3pt] 2x-5x &=3\color{blue}{+4} \\[3pt] -3x &=7 \\[3pt] x&=-\frac{7}{3} \\[3pt] S&=\left\{-\frac{7}{3}\right\} \end{align}}$$

Vous pouvez regarder la vidéo accessible ci-dessous afin de mieux comprendre la méthode grâce à l'exemple précédent.

Exercices

On considère l'équation $4x-7=6x+5$.

  1. Vérifier que 3 n'est pas solution de l'équation précédente.

  2. Vérifier que -6 est solution de l'équation précédente.

Cet exercice est détaillé et corrigé ci-dessous :

Vous pouvez retrouver l'ensemble des corrigés des deux exercices suivant dans ce document en version pdf.

Résoudre chacune des équations suivantes et conclure en précisant l'ensemble des solutions.

  1. $2x=4x-3$.

  2. $x+2=3x+4$

  3. $1+4x=-x-7$

  4. $-3x=x$

  5. $8x+3=2x+3$

Résoudre chacune des équations suivantes et conclure en précisant l'ensemble des solutions.

  1. $4=5+6x$.

  2. $7-3=7-3x$

  3. $4+2x+17=6x-5+4x$

  4. $-1-2x=4x$

  1. Résoudre l'équations suivante $2x+3=x+8-5+x$ en précisant l'ensemble des solutions.

  2. Vérifier par un calcul la cohérence de l'ensemble des solutions trouvé.

Cliquer pour afficher la solution
  1. $2x+3=x+8-5+x \iff 0x=0 \iff 0=0$ : toujours vrai, d'où : $S=\mathbb{R}$.
  2. En remplaçant $x$ par n'importe quel nombre réel, les deux membres valent deux nombres égaux.

  1. Résoudre l'équation suivante $1+2x+3+4x=5+6x$ en précisant l'ensemble des solutions.

Cliquer pour afficher la solution
  1. $1+2x+3+4x=5+6x \iff 0x=2 \iff 0=2$ : impossible, d'où : $S=\varnothing$.

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